Les élégantes explorations mathématiques de Maryam Mirzakhani

Les élégantes explorations mathématiques de Maryam Mirzakhani
Maryam Mirzakhani a reçu la médaille Fields le 12 août 2014. Elle est, à ce jour, la seule femme à avoir obtenu cette prestigieuse distinction. Courtesy Stanford News Service

Malgré sa mort prématurée le 14 juillet 2017, Maryam Mirzakhani a profondément marqué sa discipline grâce à ses travaux originaux. 

L’océan de tristesse, dans lequel l’annonce du décès de Maryam Mirzakhani m’a plongé, a suscité chez moi l’envie de lire tous les articles que j’ai pu trouver à son sujet. Lorsque je n’ai plus trouvé d’autres articles, j’ai commencé à lire les commentaires des lecteurs. Beaucoup d’entre eux qualifiaient ses travaux d’« illisibles et d’incompréhensibles » car ils se disaient trop faibles en mathématiques. Mais Maryam était tout sauf quelqu’un d’incompréhensible. Elle nous rappelait, par ses mots et ses actions, que les concepts mathématiques pouvaient être compris de tous si l’on y mettait assez de cœur à l’ouvrage.

Ce n’était pas elle la star de ses conférences, les seules stars étaient les concepts mathématiques. Elle parlait clairement, d’une manière posée et expliquait les étapes de son raisonnement avec plaisir et passion.

Maryam Mirzakhani avait la capacité de percevoir rapidement la longueur d’onde sur laquelle se situait son interlocuteur et pouvait ainsi adapter son discours. Une qualité rare chez un mathématicien. Elle écoutait avec attention et ne comptait pas ses heures. Derrière son étonnante sérénité, on pouvait entrevoir une volonté de fer. Elle était une source inépuisable d’idées et bien sûr, avait une passion pour les mathématiques et les fantastiques moments d’épiphanie qu’elles procurent. Atteindre le stade de la découverte lui prenait souvent des années, car Maryam Mirzakhani travaillait sur des problèmes de fond.

Suite à une de ses conférences, nous marchions toutes les deux en bavardant. Soudain, la voix d’un enfant parvint jusqu’à nous depuis une pièce voisine, Maryam s’exclama : « Anahita ! ». C’était la voix de sa fille. La joie de Maryam emplit la pièce. Ce n’était plus la même Maryam Mirzakhani que pendant la conférence. C’était quelqu’un de très humain.

Le travail de Maryam connectait des idées provenant de différents domaines des mathématiques. Une partie de son travail concernait le comptage des courbes fermées sur des surfaces. Grosso modo, une surface mathématique correspond à la couche extérieure d’un objet solide. En topologie, on étudie la déformation des surfaces – elles peuvent être pliées, être étirées, mais ne doivent pas être déchirées – d’où la blague classique selon laquelle les topologistes ne sont pas capables de faire la différence entre une tasse de café et un donut (puisque si l’on déforme une tasse de café, on peut obtenir un donut). Les surfaces étudiées peuvent aussi avoir des trous et des arêtes. Ainsi, un disque et un cylindre peuvent tout deux être considérés comme des surfaces.

Les courbes fermées sur une surface sont semblables à des bandes élastiques extrêmement fines qui s’enroulent autour de cette surface. Ces courbes peuvent aussi être déformées sur la surface. Par exemple, sur un cylindre, chaque courbe fermée peut être déformée en une autre courbe qui va faire un, deux ou trois tours autour du cylindre. Cette même courbe peut aussi ne faire aucun tour autour du cylindre. Et dans ce cas, on peut réduire la courbe pour n’en faire qu’un point.

Les surfaces peuvent aussi être étudiées d’un point de vue géométrique. Dans ce cas, une surface extensible peut être « agrémentée » d’une métrique, un moyen de mesurer des distances et des angles.

Prenons l’exemple du tore, nom mathématique de la surface d’un donut. Une manière de définir une métrique sur un tore consiste à imaginer que nous sommes de minuscules êtres, vivant sur la surface du donut, où nous mesurons des distances et des angles. Le paysage que nous voyons peut changer considérablement lorsque nous bougeons d’un endroit à un autre.

Il y a une autre façon de concevoir une métrique sur un tore : imaginons que nous sommes toujours de minuscules êtres, mais maintenant, nous vivons dans une sorte de carré. L’emploi du terme « sorte » tient au fait que ce carré a une propriété bien spéciale : si nous marchons tout droit dans ce carré et que nous atteignons un des côtés, disons celui du haut, pour continuer de marcher tout droit, il nous faudra re-rentrer dans le carré, par le point situé, directement à l’opposé, sur le côté du bas. Certains jeux vidéo, comme Pac-man, se déroulent dans un univers qui s’apparente à ce genre de carré.

Il faut ensuite un peu de réflexion pour se convaincre que cet univers correspond aussi à un tore (Ndt : pour cela imaginez que vous colliez le côté haut au côté bas en pliant le carré ; puis le côté gauche sur le côté droit, vous obtenez bien un tore). La métrique, dans ce cas, n’est pas celle que nous « voyons » en vivant à la surface du donut, mais celle que l’idée du carré spécial décrit précédemment nous aide à définir. Une propriété intéressante de la métrique de Pac-Man est qu’à chaque point, le paysage qui nous entoure semble être exactement le même. Il est parfaitement uniforme.

Une surface admettant une topologie « assez compliquée » (ce qui veut dire qu’il ne s’agit pas d’une sphère, d’un tore, d’un disque ou d’un cylindre) possède ce que l’on appelle des métriques hyperboliques. Dans ces métriques, le paysage de chaque point ressemble à un col de montagne, ou à une selle de cheval. Tout comme la métrique Pac-Man du donut, ces métriques ne peuvent pas être visualisées comme des distances mesurées sur la surface d’un solide. Mais comme nous l’a appris le mathématicien William Thurston, avec une certaine gymnastique intellectuelle nous pouvons tout de même voir ces distances avec notre œil mathématique.

L’ensemble de toutes les courbes sur une surface pouvant être déformées en une courbe donnée constitue ce qu’on nomme une classe de déformation. Une propriété remarquable des métriques hyperboliques est que parmi toutes les courbes d’une classe de déformation, une seule a la plus courte longueur. Elle est appelée une géodésique.

Une partie du travail de Maryam était de compter ces géodésiques sur les surfaces en utilisant la métrique hyperbolique. Avant elle, les mathématiciens savaient qu’une surface possédait un nombre fini de géodésiques ayant une longueur inférieure à une valeur donnée. De plus, ils avaient aussi appris que le nombre de géodésiques dont la longueur ne dépassait pas une certaine valeur croît exponentiellement en fonction de cette valeur. Cette croissance exponentielle limite ainsi notre capacité à réaliser des simulations exhaustives.

Une des questions auxquelles Maryam a répondu, concerne cette croissance du nombre de géodésiques pour le cas particulier des géodésiques sans intersections. Elle les a divisées en deux catégories. Deux géodésiques sans intersections sont du même type si, dans un certain sens, elles « reposent » sur la surface de manière équivalente.

Elle a réussi à prouver que sur une surface hyperbolique, le nombre de géodésiques sans intersections d’une catégorie donnée augmentait de manière polynomiale et non exponentielle en fonction de la longueur maximale fixée. Un bond en avant pour réaliser des simulations exhaustives. Maryam a aussi fourni des formules explicites pour calculer les coefficients du polynôme. Cerise sur le gâteau, ce travail a aussi apporté une preuve originale d’une célèbre conjoncture d’Edward Witten en théorie des cordes.

Il y a un peu plus de dix ans, le monde mathématique n’arrivait pas encore à prononcer le nom peu commun de Maryam Mirzakhani. La solidité et la beauté de son travail ont accéléré cet apprentissage. C’est un déchirement de ne plus compter Maryam Mirzakhani parmi nous. C’est aussi incompréhensible : son cerveau était tellement puissant que je la pensais protégée de la mort.

La meilleure manière de lui rendre hommage pour les mathématiciens est peut-être de continuer à travailler sur ses résultats extraordinaires.

 

Moira Chas

Source : pourlascience.fr

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