Comment réduire une sphère sans changer les distances

Comment réduire une sphère sans changer les distances
La sphère initiale (à droite) a été réduite (à gauche) de telle sorte que la distance entre deux points quelconques de sa surface reste inchangée. Projet Hévéa

Faire entrer la Terre dans une balle de ping-pong, tout en conservant les distances… Impossible ? Une équipe de mathématiciens et d’informaticiens français a pourtant réussi à réaliser cet objet mathématique en 3D, appelé sphère réduite.

Faire entrer une sphère rigide, telle la Terre, dans une balle de tennis, tout en s’assurant que la distance séparant deux points de la surface de la planète reste la même… cela paraît impossible ! Pourtant, c’est bien ce qu’ont réalisé les membres du projet Hévéa, des universités de Lyon et de Grenoble. Cinq ans après avoir obtenu la première représentation en trois dimensions d’un « tore plat », les chercheurs réitèrent avec la « sphère réduite », une nouvelle étape dans la création d’ « objets impossibles ».

Réduire le volume occupé par une sphère rigide qui ne peut être ni étiré ni contracté tout en conservant les longueurs à sa surface (on parle de déformation isométrique) est loin d’être simple. Ce problème trouve ses origines dans les travaux du mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss sur la régularité des surfaces. Pour en comprendre l’enjeu, prenons une balle de tennis de table, qui représente bien une sphère rigide qui ne peut être contractée en appuyant dessus. En appuyant plus fort, la surface lisse de la balle se poque : elle s’enfonce et fait apparaître des coins et des arêtes. Sa surface n’est plus régulière. Les mathématiciens parelent d’un niveau de régularité le plus bas, noté C0, alors qu’une surface à la régularité maximale est désignée par le symbole C. Entre C0 et C, il existe une infinité de niveaux, C1, C2, C3, etc. Des critères, invisibles à l’œil, permettent de classer la régularité des surfaces qui paraissent lisses.

En 1827, Gauss a montré qu’une certaine grandeur, la courbure de Gauss, doit rester inchangée lors d’une déformation isométrique d’une surface au moins de niveau C2. Or le calcul montre qu’une sphère réduite n’a pas la même courbure de Gauss que la sphère initiale. La réduction de la sphère peut donc donner une surface au mieux C1. L’expérience de la balle de tennis de table donne une surface C0, mais les mathématiciens se sont demandé s’il était possible d’obtenir une sphère réduite de niveau C1 ou si un argument mathématique permettait d’exclure cette possibilité.

La solution est venue en 1954 grâce aux travaux de John Nash et de Nicolaas Kuiper sur le théorème du plongement. Les deux mathématiciens ont montré que les surfaces C1 sont trop peu régulières pour y définir la courbure de Gauss. Ils suggèrent ainsi qu’il est possible de créer des « objets impossibles » telles que des sphères réduites sans poques. Cependant, de nombreux obstacles empêchent alors d’imaginer à quoi peuvent ressembler ces objets impossibles. Il faut attendre les travaux de Benoît Mandelbrot sur les fractales pour développer les outils nécessaires à la compréhension de la géométrie des surfaces C1 et les travaux de Mikhaïl Gromov, dans les années 1980, qui ouvrent la voie vers une possible méthode de construction des objets impossibles.

De nombreuses années ont été nécessaires pour comprendre comment exploiter la difficile et abstraite théorie de Mikhaïl Gromov. Entre 2013 et 2016, Vincent Borrelli et ses collègues ont simplifié et adapté l’approche au cas de la sphère réduite. « Avec mes collègues, nous ne savions pas à quoi cet objet allait ressembler » précise Boris Thibert, membre de l’équipe, « il existe une multitude de chemins pour appliquer la méthode, nous en avons choisi un pour arriver à ce modèle. »

Pour y parvenir, les chercheurs ont décomposé la sphère initiale en trois parties, les deux calottes polaires et la bande équatoriale. La taille des calottes est adaptée pour les faire rentrer dans une plus petite sphère sans les déformer, c’est la bande équatoriale qui va subir les transformations isométriques. En plissant cette bande de façon répétée et suivant une procédure précise, il s’y forme des oscillations qui s’empilent à l’infini et dont l’amplitude augmente à l’approche de l’équateur. « C’est comme une recette de cuisine que l’on construit étape par étape », explique Boris Thibert, « à chacune d’entre-elles, on essaye de choisir le nombre d’oscillations équatoriales adapté. » Mais la quantité d’oscillations n’est pas l’unique variable de l’algorithme : la direction dans laquelle elles sont dirigées joue aussi un rôle important. Pour leur modèle qui consistait à réduire la sphère dans un volume deux fois plus petit, les chercheurs ont utilisé une alternance de trois directions.

Mais suivre cette recette ne suffit pas, de nombreux problèmes doivent être résolus pour obtenir la sphère réduite. Notamment, la connexion entre les calottes et la bande équatoriale doit être traitée avec minutie, ce qui revient à résoudre une équation différentielle avec des contraintes de bord.

Visuellement, les plis de la sphère réduite ne sont pas sans rappeler la géométrie fractale, à la différence près que les fractales présentent des arêtes et sont donc de classe C0 quand les chercheurs travaillent ici avec une surface C1. Cette ressemblance conduit à parler de fractales C1. Par ailleurs, l’aspect des oscillations de la sphère réduite évoque aussi les images du tore plat que la même équipe avait obtenu en 2012. Cela n’est pas très étonnant, cet autre objet impossible avait aussi été obtenu en suivant la théorie de Mikhaïl Gromov.

Enfin, existe-t-il une limite à la réduction d’une sphère par la « recette » utilisée par les membres du projet Hévéa ? La réponse est non. Dans le modèle des chercheurs, le facteur de réduction était de deux, mais celui-ci aurait pu être beaucoup plus important. Avec une bande équatoriale beaucoup plus plissée, il aurait été possible de faire rentrer la Terre dans une balle de tennis.

 

Clément Dufrenne et Sean Bailly

Source : pourlascience.fr

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